Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，且圖象上相鄰最高點(diǎn)的距離為π．（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位后，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（$\frac{π}{4}$）的值．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，且圖象上相鄰最高點(diǎn)的距離為π．
∴$\frac{2π}{ω}$=π，且ω•$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得ω=2，φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位后，得到y(tǒng)=g（x）=$\sqrt{3}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，可得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．