Question

6．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$（n∈N^*）是非零常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為“和等比數(shù)列”．若數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為c₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列{c_n}是“和等比數(shù)列”，記d=f（c₁），則f（2017）=4034．

Answer 1

分析 運(yùn)用新定義和等差數(shù)列的求和公式，可得n的恒等式，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，可得k=4，d=2c₁，即有d=f（c₁）=2c₁，代入計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：若數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為c₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，
且數(shù)列{c_n}是“和等比數(shù)列”，
可得$\frac{{{S_{2n}}}}{S_n}$（n∈N^*）是非零常數(shù)，
設(shè)$\frac{2n{c}_{1}+\frac{1}{2}•2n（2n-1）d}{n{c}_{1}+\frac{1}{2}n（n-1）d}$=k（k≠0），
即有2nc₁+n（2n-1）d=knc₁+$\frac{1}{2}$kn（n-1）d，
由恒成立思想可得2d=$\frac{1}{2}$kd，2c₁-d=kc₁-$\frac{1}{2}$kd，
由d不為0，可得k=4，d=2c₁，
即有d=f（c₁）=2c₁，
則f（2017）=2×2017=4034．
故答案為：4034．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的求和公式，以及恒成立思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．