Question

已知定點(diǎn)A（-1，

3

），動(dòng)點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蜓刂鴨挝粓A從P₀（1，0）處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)（t=0秒），且每秒運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為

π

5

弧度，在t秒內(nèi)（t＞0）到達(dá)點(diǎn)P．記函數(shù)f（t）=

OA

•

OP

，向量

OQ

=

OA

+

OP

，關(guān)于f（t）有以下結(jié)論：
①f（t）=-

3

sin

π

5

t+cos

π

5

t；②f（t）=2sin（

π

5

t-

π

6

）；③Q點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓；
④當(dāng)f（t）第一次取得最大值時(shí)，需要的時(shí)間是t=

3

10

秒；⑤1≤|

OQ

|≤3
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)數(shù)量積之間的關(guān)系求出函數(shù)f（t）的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：動(dòng)點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蜓刂鴨挝粓A從P₀（1，0）處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)（t=0秒），且每秒運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為

π

5

弧度，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（cos

π

5

t，sin

π

5

t），

OA

=（-1，

3

），

OP

=（cos

π

5

t，sin

π

5

t），
∴f（t）=

OA

•

OP

=-cos

π

5

t+

3

sin

π

5

t=2sin（

π

5

t-

π

6

），
∴①錯(cuò)誤，②正確，
∵

OQ

=

OA

+

OP

=（-1+cos

π

5

t，

3

+sin

π

5

t）
∴設(shè)Q（x，y），
則x=-1+cos

π

5

t，y=

3

+sin

π

5

t，消去參數(shù)得（x+1）²+（y-

3

）²=1，
∴Q點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，
∴③正確．
由

π

5

t-

π

6

=

π

2

，解得t=

10

3

，∴④錯(cuò)誤．
∵

OQ

2=（-1+cos

π

5

t）²+（

3

+sin

π

5

t）²=5+4sin（

π

5

t-

π

6

），
∴1≤5+4sin（

π

5

t-

π

6

）≤9，
∴1≤

OQ

2≤9，
即1≤|

OQ

|≤3，∴⑤正確．
故答案為：②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用向量數(shù)量積之間的關(guān)系求出函數(shù)的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．