Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

4an-1

kan-1+1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當1＜k＜3時，證明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）分類討論，利用

1

an

-

k

3

=

1

4

（

1

an-1

-

k

3

），可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

得a_n-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

，從而可得a_n-

3

k

＞

3k-9

k

•

1

k•4n-1

=

3k-9

k2

•

1

4n-1

，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵a_n=

4an-1

kan-1+1

（n≥2），
∴

1

an

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，
∴

1

an

-

k

3

=

1

4

（

1

an-1

-

k

3

）
①k=3時，{

1

an

-1}是各項為0的常數(shù)列，∴a_n=1；
②k≠3時，{

1

an

-

k

3

}是以1-

k

3

為首項，

1

4

的等比數(shù)列，∴

1

an

-

k

3

=（1-

k

3

）•(

1

4

)n-1，
∴a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

，
綜上，a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

；
（2）證明：由a_n=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

得a_n-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

，
∵1＜k＜3，
∴a_n-

3

k

＞

3k-9

k

•

1

k•4n-1

=

3k-9

k2

•

1

4n-1

∴a₁+a₂+…+a_n-

3n-8k

k

=（a₁-

3

k

）+（a₂-

3

k

）+…+（a_n-

3

k

）+8＞

3k-9

k2

•（1+

1

4

+…+

1

4n-1

）+8
=

4(k-3)

k2

•[1-(

1

4

)n]+8＞

4(k-3)

k2

+8=

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0，
∴a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．