如圖，已知以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓上有點(diǎn)Q，三角形QF1F2的周長(zhǎng)為4（
2
+1）．一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的傾斜角分別為α，β，證明tanβ•tanα=1；
（3）設(shè)m=
1
|AB|
+
1
|CD|
，請(qǐng)問m是否為定值？若是，求出m的值；若不是，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由題意知，橢圓中c=2，2a+2c=4（
2
+1），由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），能求出該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則k1=
y0
x0+2
，k2=
y0
x0-2
，則k1•k2=
y0
x0+2
•
y0
x0-2
=
y02
x02-4
，由此能證明tanβ•tanα=k1•k2=
y02
x02-4
=1．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得m=
1
|AB|
+
1
|CD|
成立，則|AB|+|CD|=m|AB|•|CD|成立，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），直線CD的方程為y=
1
k
(x-2)，由方程組
y=k(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
，消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2x+8k2-8=0，由韋達(dá)定理得AB=
4
2
(1+k2)
2k2+1
，CD=
4
2
(1+k2)
k2+2
，由|AB|+|CD|=m|AB|•|CD|，求出存在常數(shù)m=
3
2
8
，使得m=
1
|AB|
+
1
|CD|
成立．
解答： （1）解：由題意知，橢圓中c=2，
又2a+2c=4（
2
+1），解得a=2
2
，
∴b2=a2-c2=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），
∵雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，
∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
-
y2
4
=1．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則k1=
y0
x0+2
，k2=
y0
x0-2
，
所以k1•k2=
y0
x0+2
•
y0
x0-2
=
y02
x02-4
，
又點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線上，所以有
x02
4
-
y02
4
=1，
即y02=x02-4，
設(shè)直線PF1、PF2的傾斜角分別為α，β，
∴tanβ•tanα=k1•k2=
y02
x02-4
=1．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得m=
1
|AB|
+
1
|CD|
成立，則|AB|+|CD|=m|AB|•|CD|成立，
則由（2）知k1•k2=1，所以設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），
則直線CD的方程為y=
1
k
(x-2)，
由方程組
y=k(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
，消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2x+8k2-8=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則由韋達(dá)定理得：x1+x2=
-8k2
2k2+1
，x1x2=
8k2-8
2k2+1
，
∴AB=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(1+k2)
2k2+1
，
同理可得CD=
1+(
1
k
)2
•
(x1+x2)2-4x1x2

=
4
2
(1+
1
k2
)
2•
1
k2
+1
=
4
2
(1+k2)
k2+2
，
又因?yàn)閨AB|+|CD|=m|AB|•|CD|，
所以有m=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
2k2+1
4
2
(1+k2)
+
k2+2
4
2
(1+k2)

=
3k2+3
4
2
(1+k2)
=
3
2
8
，
∴存在常數(shù)m=
3
2
8
，使得m=
1
|AB|
+
1
|CD|
成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，考查兩直線傾斜角正切值乘積為1的證明，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=
4an-1
kan-1+1
（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)1＜k＜3時(shí)，證明不等式：a1+a2+…+an＞
3n-8k
k
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AA1平行的棱有
 
條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=（
3
sinx，sinx），
b
=（cosx，sinx），x∈[0，
π
2
]
（1）若|
a
|=|
b
|，求x的值
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
，求f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-alnx，g（x）=
lnx
x
．
（Ⅰ） 若函數(shù)f（x）存在不大于0的最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．
（i）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象分別在直線y=kx的兩側(cè)，求k的取值范圍；
（ii） 若M（x1，y1），N（x2，y2）（0＜x1＜x2）是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，且存在實(shí)x0∈（0，+∞）
使得f′（x0）=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，證明：x1＜x0＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值是28．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值為g（t），求g（t）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）在定義域R上是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)為增函數(shù)，求使f（π）＜f（a）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)點(diǎn)A，B是圓x2+y2=4上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C（1，0），如果∠ACB=90°，則線段AB長(zhǎng)度的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置關(guān)系為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案