Question

10．利用函數(shù)單調(diào)性定義證明：（1）f（x）=-x²+1在（-∞，0]上是增函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）的單調(diào)性，并求它在x∈[2，6]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=-x²+1，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$在x∈[2，6]上的單調(diào)遞減，即可求它在x∈[2，6]上的最大值與最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x²+1，設(shè)0≥x₂＞x₁，
f（x₂）-f（x₁）=（-x₂²+1）-（-x₁²+1）=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
而由題設(shè)可知x₁-x₂＜0，x₂+x₁＜0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）的單調(diào)遞減，
∵x∈[2，6]，∴函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$在x∈[2，6]上的單調(diào)遞減，
∴最大值f（2）=2，最小值f（6）=$\frac{2}{5}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義及證明方法，分式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．