Question

7．已知函數(shù)f（x）=mx-lnx，（m＞0）．
（1）若m=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（3）若f（x）≤0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}，（x＞0）$，分別解出f′（x）=0，f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得單調(diào)性，進(jìn)而得到極值；
（2）$f'（x）=m-\frac{1}{x}=\frac{mx-1}{x}，（x＞0，m＞0）$，分別解出f′（x）=0，f′（x）＞0，令f′（x）＜0，可得其單調(diào)性，再對m分類討論即可得出；
（3）由f（x）≥0恒成立，又f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）可得$m≥\frac{lnx}{x}$恒成立，設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答 解：（1）$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}，（x＞0）$，
令f′（x）=0得x=1，令f′（x）＞0得x＞1，令令f′（x）＜0得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的極小值為f（1）=1-ln1=1，f（x）無極大值．
（2）$f'（x）=m-\frac{1}{x}=\frac{mx-1}{x}，（x＞0，m＞0）$，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{m}$，令f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{m}$，令f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{m}$，
∴f（x）在$（0，\frac{1}{m}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{m}，+∞）$上單調(diào)遞增，
∵x∈[1，e]，
∴當(dāng)$0＜\frac{1}{m}≤1即m≥1$時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（1）=m，
當(dāng)$1＜\frac{1}{m}＜e即\frac{1}{e}＜m＜1$時，f（x）在$（0，\frac{1}{m}）$減，$（\frac{1}{m}，+∞）$增，f（x）的最小值為$f（\frac{1}{m}）=1+lnm$．
當(dāng)$\frac{1}{m}≥e即0＜m≤\frac{1}{e}$時，f（x）在[1，e]減，f（x）的最小值為f（e）=me-1．
（3）∵f（x）≥0恒成立，即mx-lnx≥0恒成立，∴mx≥lnx，
又∵f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）∴$m≥\frac{lnx}{x}$恒成立，
設(shè)$g（x）=\frac{lnx}{x}$，
∵$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，∴當(dāng)x=e時，g′（e）=0．
當(dāng)0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）為單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)x＞e時，g′（x）＜0，g（x）為單調(diào)減函數(shù)，
∴$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$，
∴當(dāng)$m≥\frac{1}{e}$時，f（x）≥0恒成立．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉在區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．