Question

12．在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上，函數(shù)f（x）=x²+px+q與g（x）=2x+$\frac{1}{x^2}$在同一點取得相同的最小值，那么f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值是（　　）

• A． $\frac{13}{4}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 先利用基本不等式求得函數(shù)f（x）的最小值，及此時x的值，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列方程求得b和c，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值

解答 解：g（x）=2x+$\frac{1}{x^2}$=x+x+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥3，當(dāng)x=1時取得最小值，
∴對于函數(shù)f（x），當(dāng)x=1時，函數(shù)有最小值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+p+q=3}\\{-\frac{p}{2}=1}\end{array}\right.$
求得p=-2，q=4，
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，開口向上，
∴在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上，函數(shù)的最大值為f（2）=4，
故選：D

點評 本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)．對于二次函數(shù)的對稱軸，頂點位置，應(yīng)能熟練應(yīng)用，屬于中檔題．