Question

4．已知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程是：x±2y=0，雙曲線上動點P到點A（5，0）的距離的最小值為$\sqrt{6}$，則雙曲線的準線方程是（　　）

• A． x=±$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． x=±$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． y=±$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． y=±$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由已知條件，設(shè)雙曲線方程為4y²-x²=4λ，λ＞0，由雙曲線上動點P到點A（5，0）的距離的最小值為$\sqrt{6}$，得到雙曲線的方程，由此能求出雙曲線的準線方程．

解答 解：∵焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程是：x±2y=0，
∴設(shè)雙曲線方程為4y²-x²=4λ，λ＞0，
設(shè)P（x，y），|PA|²=（x-5）²+y²=$\frac{5}{4}$（x-4）²+5+λ，
∵雙曲線上動點P到點A（5，0）的距離的最小值為$\sqrt{6}$，
∴$\sqrt{5+λ}$=$\sqrt{6}$，
解得λ=1，
∴雙曲線方程為${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
∴a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線的準線方程是y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的標準方程和雙曲線的準線方程，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用．