Question

13．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）設(shè)AB=BF=a，求四面體A-BCF的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB，CD交于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，由FA=FC可得AC⊥FO，故而AC⊥平面BDEF；
（2）利用等體積，計算四面體A-BCF的體積．

解答 （1）證明：設(shè)AB∩CD=O，連接DF，OF，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∵AF=CF，O為AC的中點，
∴AC⊥OF，
又∵BD?平面BDEF，OF?平面BDEF，BD∩OF=O，
∴AC⊥平面BDEF．
（2）解：∵=∠DBF=60°，∴FD=FB．
∵O是BD的中點，∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD，
∴h=FO=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴V_A-BCF=V_F-ABC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}{a}^{2}sin120°•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{1}{8}{a}^{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，菱形的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．