Question

17．設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$的左、右焦點，點P是該橢圓上一個動點，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范圍是（　　）

• A． [-2，1）
• B． （-2，1）
• C． （-2，1]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，可得焦點坐標，設P（m，n），求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，再由P滿足橢圓方程，整理可得二次函數(shù)，運用橢圓的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
設P（m，n），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-m，-n），
可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-m）（$\sqrt{3}$-m）+n²=m²+n²-3，
由m²+4n²=4，可得m²=4-4n²，（-1≤n≤1），
即有$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1-3n²，（-1≤n≤1），
則n=0時，取得最大值1，n=±1時，取得最小值-2．
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范圍是[-2，1]．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，以及二次函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．