Question

奇函數(shù)f（x）在{x|x≠0}上有定義，且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）=0，又函數(shù)g（t）=-t²+mt+3-2m，t∈[0，1]，則使函數(shù)g（t），f（g（t））同取正值的m的范圍

{m|m＜0 }

_．

Answer 1

分析：由題意可得，當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，函數(shù)g（t）=-t²+mt+3-2m＞0恒成立，故 g（0）=3-2m＞0，且g（1）=2-m＞0，由此解得 m的范圍．要使f（g（t））＞0，必須-2
＜g（t）＜0（舍去），或g（t）＞2，即 t²-mt+2m-1＜0在[0，1]，恒成立．由

0-0+2m-1＜0 1-m+2m-1＜0

，解得 m的范圍．再把這兩個(gè) m的范圍取交集，即得所求．

解答：解：由題意可得，當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，函數(shù)g（t）=-t²+mt+3-2m＞0恒成立，
∴g（0）=3-2m＞0，且g（1）=2-m＞0，解得 m＜

3

2

．
由奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）=0，可得f（-2）=0，且f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)．
要使f（g（t））＞0，必須-2＜g（t）＜0（舍去），或g（t）＞2． 即-t²+mt+3-2m＞2在[0，1]，恒成立，即 t²-mt+2m-1＜0在[0，1]，恒成立．
∴

0-0+2m-1＜0 1-m+2m-1＜0

，解得 m＜0．
綜上，使函數(shù)g（t），f（g（t））同取正值的m的范圍是 {m|m＜

3

2

}∪{m|m＜0 }={m|m＜0 }，
故答案為 {m|m＜0 }．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．