Question

5．設(shè)點A（0，1），B（2，-1），點C在雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上，則使△ABC的面積為3的點C的個數(shù)為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 求出AB的長度和直線方程，結(jié)合三角形的面積求出點C到直線的距離，作出直線AB的平行直線，利用平行直線之間的距離公式與三角形的高進(jìn)行比較即可得到結(jié)論．

解答 解：AB的長度|AB|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
設(shè)C到AB的距離為d，則由S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$d=3，得d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
AB的直線方程和為y=kx+1，
則由-1=2k+1得2k=-2，得k=-1，
即AB的方程為：y=-x+1，
即x+y-1=0，
設(shè)與直線x+y-1=0平行的直線為x+y+c=0，
得y=-x-c代入雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1得3x²+8cx+4+4c²=0，
當(dāng)直線和雙曲線相切時，
判別式△=64c²-12（4+4c²）=0，
即c²=3，得c=±$\sqrt{3}$，
即相切的直線方程為x+y+$\sqrt{3}$=0或x+y-$\sqrt{3}$=0，
直線x+y+$\sqrt{3}$=0和x+y-1=0的距離d=$\frac{|-1-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$＜$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，則此時△ABC的面積為3的點C有兩個，
直線x+y-$\sqrt{3}$=0和x+y-1=0的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，則此時△ABC的面積為3的點C有兩個，
綜上△ABC的面積為3的點C有4個，
故選：A

點評 本題主要考查直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)平移切線法結(jié)合平行直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．