Question

17．平面直角坐標系xOy中，拋物線y²=2x的焦點為F，設M是拋物線上的動點，則$\frac{{|{MO}|}}{{|{MF}|}}$的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時|MF|=$\frac{13}{12}$．

Answer 1

分析 設M（m，n）到拋物線y²=2x的準線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于d，由拋物線的定義可得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}xvmcwvg$，化簡為$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，令m-$\frac{1}{4}$=t，利用基本不等式可求得最大值，結合拋物線的定義即可求|MF|的值．

解答 解：焦點F（$\frac{1}{2}$，0），設M（m，n），則n²=2m，m＞0，設M到準線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于d，
則由拋物線的定義得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}doj0luz$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}}{m+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$=$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，
令m-$\frac{1}{4}$=t，
依題意知，m＞0，
若t＞0，
則$\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}$=$\frac{t}{{t}^{2}+\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}}$=$\frac{1}{t+\frac{\frac{9}{16}}{t}+\frac{3}{2}}$≤$\frac{1}{2×\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴t_max=$\frac{1}{3}$，此時${（\frac{|MO|}cs2hev7）}_{max}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
若-$\frac{1}{4}$＜t＜0，y=t+$\frac{\frac{9}{16}}{t}$+$\frac{3}{2}$單調遞減，
故y＜-$\frac{1}{4}$-$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$=-1，$\frac{1}{t+\frac{\frac{9}{16}}{t}+\frac{3}{2}}$∈（-1，0）；
綜上所述，${（\frac{|MO|}3603bsk）}_{max}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
此時m-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3}$，則m=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
則|MF|=d=m-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{12}$$+\frac{1}{2}$=$\frac{13}{12}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{13}{12}$

點評 本題考查拋物線的定義、簡單性質，基本不等式的應用，體現(xiàn)了換元的思想，把$\frac{MO}{MF}$化為$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$ 是解題的關鍵和難點，綜合性較強，難度較大．