Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$=（-2sinx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow$=（cosx，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]時的值域；
（Ⅱ）求f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡f（x）的表達(dá)式，通過x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，求出相位的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性求解函數(shù)的值域；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$=（-2sinx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow$=（cosx，cosx-sinx），$f（x）=\vec a•\vec b=-sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin（2x+\frac{2π}{3}）$
當(dāng)$x∈[-\frac{π}{2}，0]$時，$2x+\frac{2π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
所以$2sin（2x+\frac{2π}{3}）∈[-\sqrt{3}，2]$
（Ⅱ）$由-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{2}{3}π≤\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$，
可得：$-\frac{7π}{12}+kπ≤x≤-\frac{π}{12}+kπ$，（k∈Z）．
f（x）的遞增區(qū)間：[$-\frac{7π}{12}+kπ$，$-\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的有界性以及正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計算能力．