分析 (Ⅰ)由題意可知:橢圓C的離心率為e=ca√32,即3a2=4c2,則a2=4b2,設(shè)橢圓C的方程為y24b2+x2b2=1,拋物線x2=8y的準線方程為y=-2,它與y軸的交點(0,-2)是橢圓的一個頂點,a=2,b=1,即可求得橢圓的標準方程;
(Ⅱ)將直線方程代入拋物線方程,由△=64-32b>0,則b<2,x3+x4=8,x3x4=8b,x3+x4=8,x3x4=8b,→OM•→ON=0,則x3y3+x4y4=0,則x3x4+y3y4=0,⇒2x3x4−b(x3+x4)+b2=0,b=0或-8 經(jīng)檢驗,符合題意,即可求得實數(shù)b的值;
(Ⅲ)設(shè)切線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,則x1+x2=−2kmk2+4,x1x2=m2−4k2+4,又由l與圓x2+y2=1相切,|m|√k2+1=1,k2=m2-1,則|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2,即可求得S△AOB=12|AB|=2√3|m|m2+3,|m|≥1,由基本不等式的性質(zhì)即可求得S△A0B的最大值.
解答 解:(Ⅰ) 橢圓C的離心率為e=ca√32,即3a2=4c2,
由a2=b2+c2,則a2=4b2,
設(shè)橢圓C的方程為y24b2+x2b2=1,…(1分)
拋物線x2=8y的準線方程為y=-2,它與y軸的交點(0,-2)是橢圓的一個頂點,
故a=2,
∴b=1,…(2分)
∴橢圓C的標準方程為y24+x2=1,
橢圓C的“伴隨”方程為x2+y2=1.…(3分)
(Ⅱ)設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),
{y=x−bx2=8y,整理得:x2-8x+8b=0,
△=64-32b>0,
∴b<2
則x3+x4=8,x3x4=8b,
→OM•→ON=0,則x3y3+x4y4=0,即x3x4+y3y4=0⇒2x3x4−b(x3+x4)+b2=0,
∴b=0或-8 經(jīng)檢驗,符合題意
∴b=0或-8 …(6分)
(Ⅲ) 由題意知,|m|≥1.
易知切線l的斜率存在,設(shè)切線l的方程為y=kx+m,
由{y=kx+my24+x2=1,整理得:(k2+4)x2+2kmx+m2−4=0,…(7分)
設(shè)A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=−2kmk2+4,x1x2=m2−4k2+4.…(8分)
又由l與圓x2+y2=1相切,
∴|m|√k2+1=1,k2=m2-1.
∴|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√(1+k2)[4k2m2(k2+4)2−4(m2−4)k2+4]=4√3|m|m2+3…(10分)
S△AOB=12|AB|=2√3|m|m2+3,|m|≥1.…(11分)
S△AOB=2√3|m|+3|m|≤2√32√|m|3|m|=1(當且僅當m=±√3時取等號),
∴當m=±√3時,S△AOB的最大值為1.…(12分)
點評 本題考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,弦長公式,三角形面積公式與基本不等式的性質(zhì)綜合應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (1,1.25) | B. | (1.25,1.5) | C. | (1.5,2) | D. | 不能確定 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 向左平移\frac{π}{3} | B. | 向右平移\frac{π}{3} | C. | 向左平移\frac{π}{6} | D. | 向右平移\frac{π}{6} |
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A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
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