Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，PD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是CD，PB的中點．
求證：（Ⅰ）CF∥平面PAE；
（Ⅱ）平面PAE⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明CF∥平面PAE；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理證明AE⊥平面PBD，即可證明平面PAE⊥平面PBD．

解答 證明：（Ⅰ）取AB的中點N，連接FN，EN，
在△PAB中，F(xiàn)N為中位線，
∴FN∥AB，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$AB，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，CE∥AB，
∴CE∥FN，CE=FN，
∴四邊形CENF為平行四邊形，
∴CF∥EN，
∵EN?面PAE，CF?面PAE，
∴CF∥平面PAE；
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PD⊥AE．
設(shè)AE∩BD=M，∵E為CD的中點，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DM}{BM}=\frac{EM}{AM}=\frac{1}{2}$，
則△DME∽△AMB，
在矩形ABCD中，AE=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{6}$，
∴DM²+EM²=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$=DE²，
即△DME為直角三角形，即AE⊥BD，
∵PD∩BD=D，PD?面PBD，BD?面PBD，
∴AE⊥平面PBD，
∵AE?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PBD．

點評 本題主要考查空間線面平行和線面垂直、面面垂直的判定，根據(jù)相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．