Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中點O，底面ABC是正三角形，其重心為G點，D是BC中點，B₁D交BC₁于E．
（1）求證：GE∥側面AA₁B₁B；
（2）若二面角B₁-AD-B的正切值為

2 3

3

，求直線BC1與底面ABC所成角．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結AB₁，則

DE

EB1

=

DG

GA

=

1

2

，由此能證明GE∥側面AA₁B₁B．
（2）過B₁作B₁F⊥AB，交AB延長線于F，過F作AD的垂線，交AD延長線于E，連B₁E，則∠B₁EF為二面角B₁-AD-B的平面角，從而tan∠B₁EF=

2 3

3

，設正三角形ABC邊長為a，連OD并延長到H，使DH=OD，∠C₁BH為直線BC1與底面ABC所成角，由此能求出直線BC1與底面ABC所成角．

解答： （1）證明：

DE

EB1

=

BD

B1C1

=

1

2

，連結AB₁，
∵

DE

EB1

=

DG

GA

=

1

2

，GE不包含于AB₁，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴GE∥側面AA₁B₁B．
（2）過B₁作B₁F⊥AB，交AB延長線于F，
過F作AD的垂線，交AD延長線于E，
連B₁E，則∠B₁EF為二面角B₁-AD-B的平面角，
從而tan∠B₁EF=

2 3

3

，
設正三角形ABC邊長為a，則

EF

DB

=

AF

AB

=

3

2

，
∴EF=

3

2

DB=

3

4

a，
則B1F =A₁O=

3

4

a•

2

3

3

=

3

2

a，從而AA₁=AB，
連OD并延長到H，使DH=OD，
則OH

∥

.

A₁C₁，故四邊形A₁OHC₁為平行四邊形，
∴C₁H⊥平面ABC，∠C₁BH為直線BC1與底面ABC所成角，
∵OH與BC互相平分，∴四邊形OCHB為平行四邊形，
∴BH=OC=

3

2

a，
∴△C₁HB為等腰直角三角形，
∴直線BC1與底面ABC所成角為

π

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與底面所成角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．