Question

如圖，△PAB是邊長為2的正三角形，平面PAB外一動點C滿足下面條件：PC=PA，AC⊥AB．
（Ⅰ）若M為BC的中點，求證：PM⊥平面ABC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-B與二面角P-AB-C互余，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB的中點N，連接PM、MN、PN，由已知得PM⊥BC、PN⊥AB，MN⊥AB，從而AB⊥平面PMN，由此能證明PM⊥平面ABC．
（Ⅱ）以AB所在的直線為x軸、AC所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐P-ABC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點N，連接PM、MN、PN，
由已知PC=PA=PB，∴PM⊥BC、PN⊥AB，
又MN為△ABC的中位線，且∠BAC=90°，
∴MN⊥AB，∴AB⊥平面PMN，
∴AB⊥PM，∴PM⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：如圖，以AB所在的直線為x軸、
AC所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0）、B（2，0，0），
設(shè)C（0，2t，0）（t＞0），
則∵PN=

3

，MN=t，∴PM=

3-t2

∴P(1，t，

3-t2

)
由（Ⅰ）可知二面角P-AB-C的平面角為∠PNM，
sin∠PNM=

3-t2

3

，
設(shè)平面PAC的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • AP =x1+ty1+ 3-t2 z1=0 n1 • AC =2ty1=0

令z₁=-1，得

n1

=(

3-t2

，0，-1)，
設(shè)平面PBC的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
則

n2 • BC =-2x2+2ty2=0 n2 • BP =-x2+ty2+ 3-t2 z2=0

，
令y₂=1得

n2

=(t，1，0)，
由已知得cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

t 3-t2

4-t2 • t2+1

=

3-t2

3

，
解得t=

2

，此時，VP-ABC=

1

3

S△ABC•PM=

2 2

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．