Question

已知-

π

3

≤x≤

π

4

，f（x）=tan²x+2tanx+2，求f（x）的最值及相應的x值．

Answer 1

考點：復合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：換元法，令tanx=t，可得t的范圍，可得關(guān)于t的二次函數(shù)，由二次函數(shù)區(qū)間的最值求法可得．

解答： 解：∵-

π

3

≤x≤

π

4

，∴-

3

≤tanx≤1，
令tanx=t，則-

3

≤t≤1，
∴f（x）=tan²x+2tanx+2可化為y=t²+2t+2=（t+1）²+1，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當t∈[-

3

，-1]時函數(shù)y單調(diào)遞減，
當t∈[-1，1]時函數(shù)y單調(diào)遞增，
∴當t=-1即x=-

π

4

時，y取最小值1，
當t=1即x=

π

4

時，y取最大值5

點評：本題考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性，涉及二次函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．