Question

已知等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+a₂=20，a₃=64，設(shè)bn=

1

2

log2an．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn-1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁+a₂=20，a₃=64，可把a(bǔ)₁，a₂，a₃均用a₁和q表示，求出a₁和q，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．
（2）根據(jù)b_n=

1

2

log₂a_n和（Ⅰ）中所求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，代入利用裂項(xiàng)求和即可求出

解答：解：：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁+a₂=20，a₃=64，
所以

a1(1+q)=20 a1q2=64

解得a₁=4，q=4
∴a_n=4ⁿ，bn=

1

2

log2an=n
（2）∵Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn-1

=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n-1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

=

n-1

n

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬必須掌握的內(nèi)容．