Question

15．已知拋物線C₁：x²=2y的焦點為F，以F為圓心的圓C₂交C₁于A、B，交C₁的準線于C、D，若四邊形ABCD是矩形，則圓C₂的方程為（　�。�

• A． x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=4
• B． x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=12
• C． x²+（y-1）²=4
• D． x²+（y-1）²=12

Answer 1

分析 依題意知，圓C₂的圓心坐標為F（0，$\frac{1}{2}$），且點F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點，利用點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等可求得直線AB的方程為：y=$\frac{3}{2}$，從而可求得A點坐標，從而可求得圓C₂的半徑，于是可得答案．

解答 解：依題意，拋物線C₁：x²=2y的焦點為F（0，$\frac{1}{2}$），
∴圓C₂的圓心坐標為F（0，$\frac{1}{2}$），
作圖如下：

∵四邊形ABCD是矩形，且BD為直徑，AC為直徑，F（0，$\frac{1}{2}$）為圓C₂的圓心，
∴點F為該矩形的兩條對角線的交點，
∴點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等，又點F到直線CD的距離d=1，
∴直線AB的方程為：y=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
∴圓C₂的半徑r=|AF|=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}}$=2，
∴圓C₂的方程為：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=4，
故選：A．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查圓的標準方程的確定，分析得到點F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點是關鍵，考查作圖、分析與運算能力，屬于難題．