Question

17．已知函數(shù)y=f（x）在定義域[-1，1]上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)．
（1）求證：對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]（x₁+x₂）≤0；
（2）若f（1-a）+f（1-a²）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x₂∈[-1，1]，可得-x₂∈[-1，1]，利用函數(shù)y=f（x）在定義域[-1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，即可證明結論；
（2）f（1-a）+f（1-a²）＜0，等價于a²+a-2＜0，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：∵x₂∈[-1，1]，∴-x₂∈[-1，1]，
設x₁≤-x₂，則∵函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，
∴f（x₁）≥f（-x₂），
∵函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x₁）≥-f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）≥0，
∵x₁+x₂≤0，
∴[f（x₁）+f（x₂）]•（x₁+x₂）≤0；
（2）解：由題意f（1-a）+f（1-a²）＜0，則f（1-a）＜f（a²-1），
∴1＞1-a＞a²-1＞-1，
∴0＜a＜1．

點評 本題考查奇偶性與單調性的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．