Question

選修4-5：不等式選講
（I）解不等式|2+x|+|2-x|≤4
（II）a，b∈R⁺，證明：a2+b2≥

ab

(a+b)．

Answer 1

考點：不等式的證明,絕對值不等式的解法

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）令f（x）|2+x|+|2-x|=

-2x，x≤-2 4，-2＜x≤2 2x，x＞2

，分段解不等式f（x）≤4，再取并集即可；
（II）作差a²+b²-

ab

（a+b）后，提取公因式，逆用差的立方公式可得a²+b²-

ab

（a+b）=(

a

-

b

)2•（a+

ab

+b）≥0，從而可證得結(jié)論．

解答： 解：（I）∵f（x）|2+x|+|2-x|=

-2x，x≤-2 4，-2＜x≤2 2x，x＞2

，f（x）≤4，
∴

x≤-2 -2x≤4

①，或

-2＜x≤2 4≤4

②，或

x＞2 2x≤4

③，
解①得：x=-2；
解②得：-2＜x≤2；
解③得：x∈∅；
∴原不等式的解集為{x|-2≤x≤2}；
（II）證明：∵a²+b²-

ab

（a+b）
=a²-a

ab

+b²-b

ab

=a•

a

（

a

-

b

）+b•

b

（

b

-

a

）
=（

a

-

b

）（a•

a

-b•

b

）
=（

a

-

b

）（

a

-

b

）（a+

ab

+b）
=(

a

-

b

)2•（a+

ab

+b）≥0，
∴a²+b²≥

ab

（a+b）．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查絕對值不等式的解法與作差法證明不等式，考查運算與推理能力，屬于中檔題．