Question

空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位：μg/m³）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重．PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關系如下表所示：

PM2.5日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空氣質(zhì)量類別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

從甲城市2013年9月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示．
（1）試估計甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)；
（2）在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由莖葉圖求出甲城市在2013年9月份隨機抽取的15天中的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，由此能估計甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)．
（2）由題意知X的取值為0，1，2，分別求出相對應的概率，從而能求出X的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（1）由莖葉圖知：甲城市在2013年9月份隨機抽取的15天中的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)為5天．…（1分）
所以可估計甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)為10天．…（2分）
（2）由題意知X的取值為0，1，2，…（3分）
因為P(X=0)=

C 0 5 C 2 10

C 2 15

=

3

7

，…（5分）
P(X=1)=

C 1 5 C 1 10

C 2 15

=

10

21

，…（7分）
P(X=2)=

C 2 5 C 0 10

C 2 15

=

2

21

．…（9分）
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	3 7	10 21	2 21

所以數(shù)學期望EX=0×

3

7

+1×

10

21

+2×

2

21

=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查莖葉圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是歷年高考的必考題型，是中檔題．