Question

曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，進而可求切線方程，切線方程，在方程中，令y=0，x=0，可得三角形的面積，進而可得最小值．

解答： 解：由題意，對函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹求導(dǎo)可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在點（1，1）處的切線斜率K=f′（1）=n+1，切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得x_n=

n

n+1

，令x=0可得y_n=-n，
∴曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S=

1

2

•

n2

n+1

=

1

2

•

1

( 1 n + 1 2 )2- 1 4

≥

1

4

，
∴三角形面積的最小值為．
故答案為：

1

4

．

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查了基本運算的能力，比較基礎(chǔ)．