Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明PH⊥平面ABCD，以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積為0，即可證得結(jié)論；
（2）假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E，不妨設(shè)=λ（0＜λ＜1），求得平面EBD的一個(gè)法向量、面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（1）證明：取AB中點(diǎn)H，則由PA=PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz（如圖）．則…．．（2分）
∵，…．．（4分）
∴，
∴，即PD⊥AC．         …．．（6分）
（2）解：假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)E，不妨設(shè)=λ（0＜λ＜1），
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，…．．（8分）
∴
設(shè)是平面EBD的法向量，則，
∴
∴，
不妨取，則得到平面EBD的一個(gè)法向量．  …．．（10分）
又面ABD的法向量可以是=（0，0，），
要使二面角E-BD-A的大小等于45°，
則
可解得，即=
故在棱PA上存在點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，使得二面角E-BD-A的大小等于45°．…．．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查面面角，考查利用向量法解決立體幾何的能力，屬于中檔題．