Question

若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²-2x+a，若?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)、結(jié)合當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²-2x+a，求出x∈[0，+∞）時(shí)f（x）的表達(dá)式，然后只需f（a）≤f（x）_min即可，再借助二次函數(shù)求最值的方法求出f（x）的最小值，解出關(guān)于a的不等式獲解．

解答： 解：由題意f（0）=0．
設(shè)x＞0，則-x＜0，所以f（-x）=-（-x）²+2x+a=-x²+2x+a，
又因?yàn)閒（-x）=-f（x），所以f（x）=x²-2x-a，（x＞0）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（a）=-a²-a；當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）=a²-3a．
①當(dāng)a＜0時(shí)，
若x=0，則f（0）=0，只需f（a）=-a²-a≤0，解得a≤-1（?），
若x＞0，f（x）=x²-2x-a=（x-1）²-（a+1），其對(duì)稱軸x=1∈[0，+∞），結(jié)合圖象可知：f（x）_min=f（1）=-（a+1），
只需f（a）=-a²-a≤-（a+1），即a²-1≥0，解得a≥1或a≤-1，
結(jié)合（?）式可得：a＜0時(shí)，滿足?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立的a的范圍是a≤-1；
②當(dāng)a≥0時(shí)，
若x=0，則f（0）=0，此時(shí)只需f（a）=a²-3a≤0，解得0≤a≤3（1）
若x＞0，f（x）=x²-2x-a=（x-1）²-（a+1），其對(duì)稱軸x=1∈[0，+∞），結(jié)合圖象可知：f（x）_min=f（1）=-（a+1），
所以此時(shí)需f（a）=a²-3a≤-（a+1），即（a-1）²≤0，所以a=1（2）
由（1）（2）可得a≥0時(shí)，滿足?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立的a的范圍是a=1．
由①②可知，當(dāng)a=1或a≤-1時(shí)，對(duì)?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題較為復(fù)雜，不但要討論x的范圍，還要對(duì)a的范圍討論，確定f（a），要仔細(xì)考慮，分析清楚才不會(huì)出錯(cuò)．