Question

定義在R上的非零函數f（x）對于任意實數m，n總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x ）＜1．
（1）試求f（0）的值；
（2）求證：f（x）的值恒為正；
（3）判斷f（x）的單調性并證明結論．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令m=1，n=0，結合非零函數f（x）對于任意實數m，n總有f（m+n）=f（m）•f（n），可求出f（0），
（2）由（1）可得當x＞0時，0＜f（x ）＜1，當x=0時，f（0）=1，當x＜0時，-x＞0，由f（x+（-x））=f（0）=f（x）•f（-x），可得f（x ）＞1，進而得到結論；
（3）當x＜0時，-x＞0，則0＜f（-x）＜1⇒f（x）=

1

f(-x)

＞0，故對任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1，即f（x₁）＜f（x₂），根據單調性的定義證明函數的單調性．

解答： 解：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，則f（1）=f（1）f（0），
又∵當x＞0時，0＜f（x ）＜1，
∴0＜f（1）＜1，
故f（0）=1，
證明：（2）當x＞0時，0＜f（x ）＜1，
當x=0時，f（0）=1，
當x＜0時，-x＞0，
f（x+（-x））=f（0）=f（x）•f（-x），
故f（x ）＞1，
綜上所述：f（x）＞0恒成立，
故f（x）的值恒為正；
（3）解：當x＜0時，-x＞0，則0＜f（-x）＜1⇒f（x）=

1

f(-x)

＞0，
即對任意x∈R都有f（x）＞0，
對于任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1⇒f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在R上為減函數．

點評：抽象函數求某點的函數值，通常采取賦值法解決；對于抽象函數的單調性，奇偶性的判定，一般采取定義解決，此題難度較大，綜合性強，屬難題．