Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（0＜a＜1），且a_n+1=

an

1+an

（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（3）求證：

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）直接由數(shù)列遞推式結(jié)合已知求得a₂，a₃，a₄；
（2）把已知的數(shù)列遞推式取倒數(shù)，整理后即可證得數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（3）把a_n代入

an

n+1

，整理后放縮即可證明

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

＜1．

解答： （1）解：由題意，a2=

a

1+a

，a3=

a

1+2a

，a4=

a

1+3a

；
（2）證明：∵a_n+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=1+

1

an

，

1

an+1

-

1

an

=1．
即數(shù)列{

1

an

}是首項為

1

a

，公差為1的等差數(shù)列；
（3）證明：∵數(shù)列{

1

an

}是首項為

1

a

，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

an

=

1

a

+(n-1)，
an=

a

1+(n-1)a

=

1

1 a +(n-1)

＜

1

n

(0＜a＜1)．
∴

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

＜1．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．