Question

8．已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F（0，-$\sqrt{2}}$），點M（1，$\sqrt{2}}$）在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓焦點坐標橢圓結(jié)果的點，結(jié)合橢圓的定義求解a，b，即可求出橢圓方程．
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點坐標，即可求出弦長．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F（0，-$\sqrt{2}}$），∴$c=\sqrt{2}$，
點M（1，$\sqrt{2}}$）在橢圓C上
∴$2a=\sqrt{{{（1-0）}^2}+{{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）}^2}}+\sqrt{{{（1-0）}^2}+{{（\sqrt{2}-\sqrt{2}）}^2}}$，（3分）
a=2，b²=a²-c²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$．（6分）
（Ⅱ）聯(lián)立直線l與橢圓C的方程$\left\{\begin{array}{l}2x-y-2=0\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x{\;}_1=0\\{y_1}=-2.\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{4}{3}\\{y_2}=\frac{2}{3}.\end{array}\right.$（10分）
∴A（0，-2），$B（\frac{4}{3}，\frac{2}{3}）$．$|{AB}|=\sqrt{{{（\frac{4}{3}-0）}^2}+{{（\frac{2}{3}+2）}^2}}=\frac{4}{3}\sqrt{5}$．（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查計算能力．