8.已知橢圓C的對稱軸為坐標軸,一個焦點為F(0,-$\sqrt{2}}$),點M(1,$\sqrt{2}}$)在橢圓C上
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知直線l:2x-y-2=0與橢圓C交于A,B兩點,求|AB|.

分析 (Ⅰ)利用橢圓焦點坐標橢圓結(jié)果的點,結(jié)合橢圓的定義求解a,b,即可求出橢圓方程.
(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程,求出交點坐標,即可求出弦長.

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C的對稱軸為坐標軸,一個焦點為F(0,-$\sqrt{2}}$),∴$c=\sqrt{2}$,
點M(1,$\sqrt{2}}$)在橢圓C上
∴$2a=\sqrt{{{(1-0)}^2}+{{(\sqrt{2}+\sqrt{2})}^2}}+\sqrt{{{(1-0)}^2}+{{(\sqrt{2}-\sqrt{2})}^2}}$,(3分)
a=2,b2=a2-c2=2,
∴橢圓C的方程為$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$.(6分)
(Ⅱ)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程$\left\{\begin{array}{l}2x-y-2=0\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x{\;}_1=0\\{y_1}=-2.\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{4}{3}\\{y_2}=\frac{2}{3}.\end{array}\right.$(10分)
∴A(0,-2),$B(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$.$|{AB}|=\sqrt{{{(\frac{4}{3}-0)}^2}+{{(\frac{2}{3}+2)}^2}}=\frac{4}{3}\sqrt{5}$.(12分)

點評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關系的應用,考查計算能力.

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