Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

a

x

-2lnx．（a∈R）
（1）若a=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0且函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在x∈（0，3）存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，由題意得，f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，即f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，即ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立． 方法一、運(yùn)用分離參數(shù)，運(yùn)用基本不等式求出最大值即可；
方法二、運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出最小值即可；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，可設(shè)L（x）=ax²-2x+a，x∈（0，3），方法一、討論當(dāng)a=0時(shí)，方程（*）的解為x=0，此時(shí)f（x）在x∈（0，3）無極值，再討論a≠0的二次方程在（0，3）內(nèi)的根只有一個(gè)，兩個(gè)，求出a 的范圍；方法二、運(yùn)用參數(shù)分離，運(yùn)用基本不等式求出最值即可判斷．

解答： 解：（1）若a=2，f(x)=2x-

2

x

-2lnxf′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，
則直線斜率k=f'（1）=2，切點(diǎn)為（1，0），
所以曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程：2x-y-2=0；
（2）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
∵f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，
即ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立．  
（法一）即a≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立
∴a≥(

2x

x2+1

)max，設(shè)M(x)=

2x

x2+1

，(x＞0)，
則M(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號，
∴M（x）≤1，即[M（x）]_max=1，∴a≥1
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）
（法二）令h（x）=ax²-2x+a，
∵f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，∴f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．
由題意a＞0，h（x）=ax²-2x+a的圖象為開口向上的拋物線，
對稱軸方程為x=

1

a

∈(0，+∞)，∴h(x)min=a-

1

a

，
∴a-

1

a

≥0，解得a≥1
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
（3）（法一）∵f′(x)=

ax2-2x+a

x2

，令f'（x）=0即ax²-2x+a=0（*）
設(shè)L（x）=ax²-2x+a，x∈（0，3），
當(dāng)a=0時(shí)，方程（*）的解為x=0，此時(shí)f（x）在x∈（0，3）無極值，
所以a≠0；
當(dāng)a≠0時(shí)，L（x）=ax²-2x+a的對稱軸方程為x=

1

a

，
①若f（x）在x∈（0，3）恰好有一個(gè)極值
則

a＞0 L(3)=10a-6≤0

或

a＜0 L(3)=10a-6≥0

，解得0＜a≤

3

5

此時(shí)f（x）在x∈（0，3）存在一個(gè)極大值；
②若f（x）在x∈（0，3）恰好兩個(gè)極值，即h（x）=0在x∈（0，3）有兩個(gè)不等實(shí)根
則

a＞0 △=4-4a2＞0 0＜ 1 a ＜3 L(3)＞0

或

a＜0 △=4-4a2＞0 0＜ 1 a ＜3 L(3)＜0

，解得

3

5

＜a＜1，
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=f（x）在x∈（0，3）存在極值．  
（法二）∵f′(x)=

ax2-2x+a

x2

，令f'（x）=0即ax²-2x+a=0（*）
由a（x²+1）=2x得 a=

2x

x2+1

，
令L(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，3），即L(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立．
∵L(x)=

2x

x2+1

＞0
∴L（x）∈（0，1]，
又∵a=1時(shí)，f′(x)=

x2-2x+1

x2

≥0在x∈（0，3）上恒成立，
∴a=1不滿足條件，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=f（x）在x∈（0，3）存在極值．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程、求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類討論的思想方法，函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．