Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為

3

，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+π，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若△ABC中的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且銳角A滿足f(A-

π

3

)=

3

，
又已知a=7，sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意易得A=2，由

1

2

T=π，可得ω=1，再由截距為

3

可得2sinφ=

3

，結(jié)合角的范圍可得φ=

π

3

，可得解析式；
（2）結(jié)合（1）易得A=

π

3

由正弦定理可得sinB=

3 b

14

，sinC=

3 c

14

，代入已知可得b+c=13，在結(jié)合余弦定理可得bc的值，由三角形的面積公式可得．

解答： 解：（1）由最值點(diǎn)可得A=2，設(shè)函數(shù)的周期為T，
由三角函數(shù)的圖象特點(diǎn)可得

1

2

T=

2π

2ω

=π，解得ω=1，
又圖象在y軸上的截距為

3

，∴2sinφ=

3

，
∴sinφ=

3

2

，又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（x+

π

3

）；
（2）∵銳角A滿足f(A-

π

3

)=

3

，
∴2sin（A+

π

3

-

π

3

）=

3

，
解得sinA=

3

2

，∴A=

π

3

；
由正弦定理可得

7

3 2

=

b

sinB

=

c

sinC

，
變形可得sinB=

3 b

14

，sinC=

3 c

14

，
∴sinB+sinC=

3

14

（b+c）=

13 3

14

，∴b+c=13，
再由余弦定理可得7²=b²+c²-2bc×

1

2

，
=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=169-3bc，∴bc=40，
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)解析式的求解，涉及正余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．