Question

已知f（x）=x+

a

x-2

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，7），則f（x）的值域?yàn)?div id="w4gmigm" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：將A（3，7）代入f（x）求得a，可得f（x）=x+

4

x-2

，然后求定義域，在定義域內(nèi)討論值域，分類討論，利用基本不等式求解．

解答： 解：f（x）=x+

a

x-2

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，7），則有3+

a

3-2

=7，解得a=4，
所以f（x）=x+

4

x-2

，定義域?yàn)閧x|x≠2}，
則當(dāng)x＞2時(shí)，x-2＞0，f（x）=x+

4

x-2

=x-2+

4

x-2

+2≥2

(x-2)× 4 x-2

+2=6（當(dāng)x=4時(shí)取得最小值），
當(dāng)x＜2時(shí)，x-2＜0，f（x）=x+

4

x-2

=x-2+

4

x-2

+2，
此時(shí)，-（x-2）＞0，x-2+

4

x-2

=-[-（x-2）-

4

x-2

]≤-4，
所以x-2+

4

x-2

+2≤-2，即f（x）≤-2，
則函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-2）∪（6，+∞）．
故答案為：（-∞，-2）∪（6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，利用基本不等式求解，注意不等式的使用條件，湊條件使用公式．