Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=3，前3項和S₃=

13

3

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

處取得最大值，且最大值為a₃，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的公式及q=3化簡S₃=

13

3

，得到關于首項的方程，求出方程的解得到首項的值，然后根據(jù)首項和公比即可寫出數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通項公式求出a₃的值，即可得到A的值，然后把x=

π

6

代入正弦函數(shù)中得到函數(shù)值等于1，根據(jù)φ的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出φ的值，把φ的值代入即可確定出f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）由q=3，S₃=

13

3

得：

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，解得a₁=

1

3

，
所以a_n=

1

3

×3^n-1=3^n-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n=3^n-2，所以a₃=3，
因為函數(shù)f（x）的最大值為3，所以A=3；
又因為當x=

π

6

時，f（x）取得最大值，所以sin（2×

π

6

+φ）=1，
由0＜φ＜π，得到φ=

π

6

．
則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+

π

6

）．

點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的前n項和的公式及通項公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，是一道中檔題．