【答案】
分析:解法一:
(1)欲證直線與直線垂直,可用先證直線與平面垂直.∵BA⊥AD,BA⊥PA,∴BA⊥平面PAD.∴PD⊥BA.又∵PD⊥AE,∴PD⊥平面BAE,∴PD⊥BE.
(2)求異面直線所成的角,可以做適當的平移,把異面直線轉化為相交直線,然后在相關的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角.平移時主要是根據中位線和中點條件,或者是特殊的四邊形,三角形等.過點E作EM∥CD交PC于M,連接AM,則AE與ME所成角即為AE與CD所成角.
(3)二面角的度量關鍵在于找出它的平面角,構造平面角常用的方法就是三垂線法.延長AB與DC相交于G點,連PG,則面PAB與面PCD的交線為PG,易知CB⊥平面PAB,過B作BF⊥PG于F點,連CF,則CF⊥PG,∴∠CFB為二面角C-PG-A的平面角
解法二:
在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中,也可以建立空間直角坐標系,設定參量求解.這種解法的好處就是:1、解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理,因為這些可以用向量方法來解決.2、即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出,因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可.則A(0,0,0),B(a,0,0),
,C(a,a,0),D(0,2a,0),
(1)
,∴BE⊥PD
(2)由(1)知,
=(-a,a,0)設
所成角為θ則cosθ=
(3)利用平面PAB與平面PCD的法向量所成的角,去求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.
解答:解法一:(1)∵∠BAD=90°,∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD,BA⊥PA.又∵PA∩AD=A,BA⊥PA.又∵PA∩AD=A,
∴BA⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD.
∴PD⊥BA.又∵PD⊥AE,且BA∩AE=A,
∴PD⊥平面BAE
∴PD⊥BE,即BE⊥PD.(4分)
(2)過點E作EM∥CD交PC于M,連接AM,則AE與ME所成角即為AE與CD所成角
∵PA⊥底面ABCD,且PD與底面ABCD成30°角.
∴∠PDA=30°.
∴在Rt△PAD中,∠PAD=90°,∠PDA=30°,AD=2a
∴PA=
a.
∴AE=
=a.
∵PE=
a.
∴ME=
a.
連接AC
∵在△ACD中AD=2a,AC=
a,
AD
2=AC
2+CD
2∴∠ACD=90°,∴CD⊥AC,∴ME⊥AC
又∵PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥CD,∴ME⊥PA.
∴ME⊥平面PAC.∵MA?平面PAC,
∵ME⊥AM.
∴在Rt△AME中,cos∠MEA=
.
∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為
(9分)
(3)延長AB與DC相交于G點,連PG,則面PAB
與面PCD的交線為PG,易知CB⊥平面PAB,過B作BF⊥PG于F點,連CF,則CF⊥PG,
∴∠CFB為二面角C-PG-A的平面角,
∵CB∥
AD,
∴GB=AB=a,∠PDA=30°,PA=
a,AG=2a.
∴∠PGA=30°,
∴BF=
=2,
∴平面PAB與平面PCD所成的二面角的正切值為2.(14分)
解法二:(1)如圖建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(a,0,0),
,C(a,a,0),
D(0,2a,0),
∴
,
∴
,
∴BE⊥PD(4分)
(2)由(1)知,
=(-a,a,0)設
所成角為θ
則cosθ=
,
∴異面直線AE與CD所成角的余統(tǒng)值為
.(9分)
(3)易知,CB⊥AB,CB⊥PA,
則CB⊥平面PAB.,∴
是平面PAB的法向量.∴
=(0,a,0).
又設平面PCD的一個法向量為
,
則
.而
=(-a,a,0),
∴由
=0.
得
∴
令y=1,,∴
設向量
所成角為θ,
則cosθ=
.
∴tanθ=2.
∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值為2.(14分)
點評:本小題主要考查空間線面關系、面面關系、二面角的度量等知識,考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.