Question

（1）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，求直角梯形以BC為旋轉軸旋轉一周形成的幾何體的表面積．
（2）定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點，且P不在α內，若直線AP、BP與α分別交于C、D點，求證：不論P在什么位置，直線CD必過一定點．

Answer 1

分析：（1）根據已知中的直觀圖，可分析出原圖是一個上底為2，下底為4，高為2的直角梯形，故旋轉后得到一個圓臺，代入圓臺表面積公式，可得答案．
（2）由已知中定線段AB所在的直線與定平面α相交，直線AP、BP與α分別交于C、D點，根據公理3可判斷直線CD必過一定點．

解答：解：（1）由斜二測畫法可知AB=2，BC=4，AD=2
進而DC=2

2

，
旋轉后形成的幾何體的表面積

S=πAB2+2πAB×AD+2πAB×CD× 1 2  =π×22+2π×2×2+2π×2×2 2 × 1 2 =(12+4 2 )π

證明：（2）設定線段AB所在直線為l，與平面α交于O點，即l∩α=O．
由題意可知，AP∩α=C，BP∩α=D，∴C∈α，D∈α．
又∵AP∩BP=P．
∴AP、BP可確定一平面β且C∈β，D∈β．
∴CD=α∩β．∴A∈β，B∈β．∴l(xiāng)?β．∴O∈β．∴O∈α∩β，即O∈CD．
∴不論P在什么位置，直線CD必過一定點．

點評：本題考查的知識點是斜二側畫法，空間直線與直線的位置關系，平面的基本性質，難度不大，屬于基礎題．