Question

4．如圖，拋物線y=（x-1）²+n與x軸交于A、B兩點，A在B的左側，與y軸交于C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為對稱軸右側的拋物線上一點，以BP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點M正好落在對稱軸上，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點C的坐標代入函數(shù)解析式求出n的值即可得解；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出拋物線的對稱軸以及點B的坐標，設對稱軸與x軸相交于點E，過點P作PF⊥對稱軸于F，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角邊”證明△BEM和△MFP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PF=ME，MF=BE，設PF=a，表示出點P的坐標，然后代入函數(shù)解析式，計算求出a的值即可得解．

解答 解：（1）∵拋物線y=（x-1）²+n與y軸交于C（0，-3），
∴1+n=-3，
∴n=-4，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4；
（2）拋物線y=（x-1）²-4的對稱軸為直線x=1，
令y=0，則（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標為（3，0），
設對稱軸與x軸相交于點E，過點P作PF⊥對稱軸于F，
則BE=3-1=2，
∵△BMP是等腰直角三角形，
∴MB=MP，∠BMP=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△BEM和△MFP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠BEM=∠MFP}\\{MB=MP}\end{array}$，
∴△BEM≌△MFP（AAS），
∴PF=ME，MF=BE，
設PF=a，①若點P在x軸的下方，則點P的坐標為（a+1，-a-2），
∵點P在拋物線y=（x-1）²-4上，
∴（a+1-1）²-4=-a-2，
整理得，a²+a-2=0，
解得a₁=1，a₂=-2（舍去），
∴點P的坐標為（2，-3）．
②若點P在x軸的上方，則點P的坐標為（a+1，a+2），
∵點P在拋物線y=（x-1）²-4上，
∴（a+1-1）²-1=a+2
整理得，a²-a-6=0
解得a₁=-2，a₂=3（舍去）
∴點P的坐標為（4，5）
綜上所述，點P的坐標為（2，-3）或（4，5）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵