Question

12．已知（x+2）²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求x²+y²的取值范圍．

Answer 1

分析 化橢圓的方程為參數(shù)方程，由三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：化（x+2）²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1為參數(shù)方程可得$\left\{\begin{array}{l}{x+2=cosθ}\\{\frac{y}{2}=sinθ}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$
∴x²+y²=（-2+cosθ）²+4sin²θ=3sin²θ-4cosθ+5
=3（1-cos²θ）-4cosθ+5=-3cos²θ-4cosθ+8
=-3（cosθ+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{28}{3}$，
由cosθ∈[-1，1]和二次函數(shù)的知識可得：
當(dāng)cosθ=-$\frac{2}{3}$時，上式取最大值$\frac{28}{3}$，
當(dāng)cosθ=1時，上式取最小值1，
∴x²+y²的取值范圍為[1，$\frac{28}{3}$]

點(diǎn)評 本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及三角函數(shù)的最值和二次函數(shù)區(qū)間的值域，屬中檔題．