Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a2

x

-3，g(x)=x+lnx，其中a＞0．F（x）=f（x）+g（x）．
（1）若函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率k≤

5

2

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件推導(dǎo)出F′（x）≤

5

2

在（0，3]恒成立，由此入手構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的最值能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）把f（x）變形為f（x）=

x2+a2-3x

x

，構(gòu)造新函數(shù)t（x）=x²+a²-3x，利用題設(shè)條件結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=x+

a2

x

-3，g(x)=x+lnx，其中a＞0．
∴F（x）=f（x）+g（x）=2x+

a2

x

+lnx-3，
∴F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

，
∵函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率k≤

5

2

，
∴F′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

=

2x2+x-a2

x2

≤

5

2

在（0，3]恒成立，
∴

5

2

x2≥2x2+x-a2，
∴a2≥-

1

2

x2+x，
令h（x）=-

1

2

x2+x，則函數(shù)h（x）的對稱軸x=1，
∴函數(shù)h（x）在（0，3]上最大值為h（1）=

1

2

，
要使a2≥h(x)=-

1

2

x2+x恒成立，a2≥h(x)max=

1

2

，
解得a＞

2

2

，或a＜-

2

2

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

2

2

，+∞）．
（2）∵f（x）=x+

a2

x

-3=

x2+a2-3x

x

在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴令t（x）=x²+a²-3x，對稱軸方程為x=

3

2

，函數(shù)開口向上，
△=9-4a²，
∵函數(shù)在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴△=9-4a²＞0，…①
要使函數(shù)f（x）在[1，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則h（1）=h（2）=a²-2≥0，…②
綜合①②，解得

2

≤a≤

3

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．