Question

己知函數(shù)f(x)=e^x，xR.

(1)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)設(shè)x﹥0，討論曲線y=f(x)與曲線y=mx²(m﹥0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)設(shè)，比較與的大小并說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)當(dāng)m時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m=,有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m有2個(gè)公共點(diǎn)；(3).

【解析】

試題分析：(1)f (x)的反函數(shù). 直線y=kx+1恒過點(diǎn)P（0，1），該題即為過某點(diǎn)與曲線相切的問題，這類題一定要先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求導(dǎo)便可得方程組，解方程組即可得k的值.

 (2)曲線y=f(x)與曲線 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程 根的個(gè)數(shù). 而這個(gè)方程可化為

，令，結(jié)合的圖象即可知道取不同值時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù).

(3) 比較兩個(gè)式子的大小的一般方法是用比較法，即作差，變形，判斷符號(hào).

 

 

結(jié)合這個(gè)式子的特征可看出，我們可研究函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)，而用導(dǎo)數(shù)即可解決.

試題解析：(1)f(x)的反函數(shù).設(shè)直線y=kx+1與相切于點(diǎn)，則.所以                       4分

(2)當(dāng)x>0,m>0時(shí),曲線y=f(x)與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù). 5分

由，令，

則 在上單調(diào)遞減，這時(shí)；  在上單調(diào)遞增，這時(shí)；所以是的最小值.      6分

所以對曲線y=f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),討論如下:

當(dāng)m時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)m=,有1個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)m有2個(gè)公共點(diǎn);                  8分

(3)設(shè) 

           9分

令，則，

的導(dǎo)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，因此，在上單調(diào)遞增，而，所以在上.   12分

當(dāng)時(shí)，且即，

 

所以當(dāng)時(shí)，                     14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、方程的根；3、比較大小.