Question

5．已知單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n）．求a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 把n=1代入S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n）解方程可得a₁=1，再S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n）和S_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1）兩式相減可得a_n+1-1=a_n或a_n+1-1=-a_n，分別結(jié)合單調(diào)性可得．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n），∴S₁=$\frac{1}{2}$（a₁²+1），
即a₁=$\frac{1}{2}$（a₁²+1），解得a₁=1，
∵S_n=$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n），∴S_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1），
兩式相減可得S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1²+n+1）-$\frac{1}{2}$（${a}_{n}^{2}$+n），
即a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1²-${a}_{n}^{2}$+1），即2a_n+1=a_n+1²-${a}_{n}^{2}$+1，
∴a_n+1²-2a_n+1+1=${a}_{n}^{2}$，即（a_n+1-1）²=${a}_{n}^{2}$，
∴a_n+1-1=a_n或a_n+1-1=-a_n，
當(dāng)a_n+1-1=a_n時a_n+1-a_n=1，數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，
滿足單調(diào)遞增，此時{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=1+n-1=n；
當(dāng)a_n+1-1=-a_n時a_n+1+a_n=1，數(shù)列為擺動數(shù)列，不滿足單調(diào)遞增．
綜上可得a₁=1，a_n=n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推公式，涉及分類討論思想和等差數(shù)列的判定，屬中檔題．