Question

10．如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角60°為的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．記∠AMN=θ．
（1）將AN，AM用含θ的關(guān)系式表示出來；
（2）如何設(shè)計（即AN，AM為多長時），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�即工廠與村莊的距離AP最大）？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理，即可θ表示出AN，AM；
（2）設(shè)AP²=f（θ），根據(jù)三角函數(shù)的公式，以及輔助角公式即可化簡f（θ）；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最值．

解答 解：：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得：$\frac{MN}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{AN}{sinθ}$=$\frac{AM}{sin（12{0}^{°}-θ）}$
所以AN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ$，AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（12{0}^{°}-θ）$
（2）AP²=AM²+MP²-2AM•MP•cos∠AMP
=$\frac{16}{3}$sin²（θ+60°）+4-$\frac{16\sqrt{3}}{3}$sin（θ+60°）cos（θ+60°）
=$\frac{8}{3}$[1-cos（2θ+120°）]-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+120°）+4
=$-\frac{8}{3}$[$\sqrt{3}$sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+$\frac{20}{3}$
=$\frac{20}{3}$-$\frac{16}{3}$sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用誘導公式可知sin（120°-θ）=sin（θ+60°））
當且僅當2θ+150°=270°，即θ=60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時AN=AM=2．
故答案為：（1）AN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ$，AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（12{0}^{°}-θ）$
（2）AN=AM=2時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�

點評 本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的應用問題，利用正弦定理以及三角函數(shù)的三角公式是解決本題的關(guān)鍵．