Question

已知函數(shù)f（x）=4cosω•sin（ωx-

π

6

）+1（ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且f（A）=2，b+c=

3 3

2

，a=

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）利用兩角和差的正弦函數(shù)可得f（x）=2sin(2ωx-

π

6

)．再利用周期性、單調(diào)性即可得出．
（II）由f（A）=2，可得sin(2A-

π

6

)=1，由于-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，可得2A-

π

6

=

π

2

，解得A．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，可得bc，利用△ABC的面積S=

1

2

bcsinA即可得出．

解答： 解：（I）f（x）=4cosωx•sin（ωx-

π

6

）+1=4cosωx(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)+1
=

3

sin2ωx-cos2ωx
=2sin(2ωx-

π

6

)．
∵函數(shù)f（x）的最小正周期是π，∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．
∴f（x）=2sin(2x-

π

6

)．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
（II）∵f（A）=2，∴sin(2A-

π

6

)=1，∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，
∴3=(

3 3

2

)2-3bc，化為bc=

5

4

．
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×

5

4

•sin

π

3

=

5 3

16

．

點評：本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性與周期性、兩角和差的正弦公式、余弦定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．