【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),證明:.
【答案】(1)見解析;(2)[1,+∞);(3)證明見解析.
【解析】
(1)求導(dǎo)數(shù)可得,當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)易得函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2)由(1)知當(dāng)時(shí),不等式在,時(shí)恒成立,當(dāng)時(shí),不等式不成立,綜合可得的范圍;
(3)由(2)的單調(diào)性易得,進(jìn)而可得,,,,將上述式子相加可得結(jié)論.
解:(1)求導(dǎo)數(shù)可得,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),由可得,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2)由(1)知當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
,即不等式在時(shí)恒成立,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
存在使得,
即不等式不成立,
綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍為,;
(3)由(2)得當(dāng)時(shí),不等式在時(shí)恒成立,
即,,.
即,
,,,,
將上述式子相加可得
原不等式得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若以曲線上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線,曲線上總存在異于點(diǎn)的點(diǎn),使得以點(diǎn)為切點(diǎn)作切線滿足,則稱曲線具有“可平行性”,其中具有“可平行性”的曲線是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , , , 與均為等邊三角形,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)若點(diǎn)在線段上且,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是的極值點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,在定義域內(nèi)恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在等腰梯形中,,,分別為,的中點(diǎn),,為中點(diǎn)現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體在圖②中,
(1)證明:;
(2)求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中,有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來很神奇,其實(shí)原理是十分簡(jiǎn)單的,要學(xué)會(huì)盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示,是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,某興趣小組隨機(jī)抽取了50名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查,得到的情況如下表所示:
喜歡盲擰 | 不喜歡盲擰 | 總計(jì) | |
男 | 22 | ▲ | 30 |
女 | ▲ | 12 | ▲ |
總計(jì) | ▲ | ▲ | 50 |
表1
并邀請(qǐng)這30名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表所示:
成功完成時(shí)間(分鐘) | ||||
人數(shù) | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
(1)將表1補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)?
(2)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),求這30名男生成功完成盲擰的平均時(shí)間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(為實(shí)數(shù).)
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與曲線有公共點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)療器械公司在全國(guó)共有個(gè)銷售點(diǎn),總公司每年會(huì)根據(jù)每個(gè)銷售點(diǎn)的年銷量進(jìn)行評(píng)價(jià)分析.規(guī)定每個(gè)銷售點(diǎn)的年銷售任務(wù)為一萬四千臺(tái)器械.根據(jù)這個(gè)銷售點(diǎn)的年銷量繪制出如下的頻率分布直方圖.
(1)完成年銷售任務(wù)的銷售點(diǎn)有多少個(gè)?
(2)若用分層抽樣的方法從這個(gè)銷售點(diǎn)中抽取容量為的樣本,求該五組,,,,,(單位:千臺(tái))中每組分別應(yīng)抽取的銷售點(diǎn)數(shù)量.
(3)在(2)的條件下,從該樣本中完成年銷售任務(wù)的銷售點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè),求這兩個(gè)銷售點(diǎn)不在同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),圓:與軸的正半軸的交點(diǎn)是,過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn).
(1)若直線與軸交于,且,求直線的方程;
(2)設(shè)直線,的斜率分別是,,求的值;
(3)設(shè)的中點(diǎn)為,點(diǎn),若,求的面積.
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