Question

19．設(shè)兩圓C₁，C₂都與y=x和y=-x相切，且都過(guò)點(diǎn)$（\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}）$，則兩圓心的距離|C₁C₂|=（　�。�

• A． $4\sqrt{2}$
• B． 4
• C． $8\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 設(shè)兩個(gè)圓的圓心的坐標(biāo)分別為（0，a），（0，b），利用條件可得a和b分別為x²-10$\sqrt{2}$x+34=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再利用韋達(dá)定理求得兩圓心的距離|C₁C₂|的值．

解答 解：設(shè)兩個(gè)圓的圓心的坐標(biāo)分別為（0，a），（0，b），由于兩圓都過(guò)點(diǎn)$（\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}）$，
則有（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（a-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²，（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（b-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$b）²，
故a和b分別為（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（x-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即a和b分別為x²-10$\sqrt{2}$x+34=0  的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b=10$\sqrt{2}$，ab=34，
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab=64，∴兩圓心的距離|C₁C₂|=8，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．