Question

20．如圖1所示的平面圖形中，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△HDA和△GDC都是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)E是線段GC的中點(diǎn)．現(xiàn)將△HDA和△GDC分別沿著DA，DC翻折，直到點(diǎn)H和G重合為點(diǎn)P．連接PB，得如圖2的四棱錐．

（Ⅰ）求證：PA∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，推導(dǎo)出EO∥PA，由此能證明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）由題意知DA，DC，DP兩兩垂直，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-PB-D的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，
又因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以EO為△CPA的中位線，所以EO∥PA…（2分）
因?yàn)镋O?平面EDB，PA?平面EDB
所以PA∥平面EDB…（4分）
解：（Ⅱ）由題意有PD⊥DC，PD⊥DA，AD⊥CD，故DA，DC，DP兩兩垂直
如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz…（6分）
則D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
A（2，0，0），C（0，2，0）
由題知PD⊥平面ABCD
又因?yàn)锳C?平面ABCD，所以AC⊥PD，
又AC⊥BD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，所以平面PBD的法向量是$\overrightarrow{AC}=（-2，2，0）$…（8分）
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由于$\overrightarrow{PB}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2）$
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}2x+2y-2z=0\\ 2y-2z=0\end{array}\right.$
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）…（10分）
則cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由圖可知求二面角C-PB-D的平面角為銳角，
所以二面角C-PB-D的大小為60^o…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．