Question

已知方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x）．
（1）若方程有且只有一個根，求a的取值范圍．
（2）若方程無實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：lg（x-1）（3-x）=lg（a-x），（x-1）（3-x）=a-x，x²-5x+（a+3）=0，由此結(jié)合已知條件和對數(shù)性質(zhì)分類討論，能求出a的取值范圍．

解答： 解：lg（x-1）（3-x）=lg（a-x）
（x-1）（3-x）=a-x
x²-5x+（a+3）=0
當△=25-4（a+3）＜0，a＞

13

4

，原方程無解；
a=

13

4

，有一個解x=

5

2

，代入原方程，成立；
a＜

13

4

，x²-5x+（a+3）=0有兩個解
x=

5± 13-4a

2

，
∵x-1＞0，3-x＞0，a-x＞0
∴1＜x＜3，x＜a，
由1＜

13-4a

2

＜3，
-3＜

13-4a

＜1，
∴0≤

13-4a

＜1，
0≤13-4a＜1，
-1＜4a-13≤0
3＜a≤

13

4

，
1＜

5- 13-4a

2

＜3
-1＜

13-4a

＜3，
∴0≤

13-4a

＜3，
0≤13-4a＜9
-9＜4a-13＜=0
1＜a≤

13

4

，
綜上：a≤1，無解；1＜a≤3，1個解；3＜a＜

13

4

，兩個解；a=

13

4

，1個解；a＞

13

4

，無解．
∴（1）若方程有且只有一個根，a的取值范圍是{a|1＜a≤3}∪{

13

4

}．
（2）若方程無實數(shù)根，a的取值范圍是{a|a≤1或a＞

13

4

}．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意分類討論思想的合理運用．