Question

12．在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，現(xiàn)截去一個△PCQ，使P、Q分別落在邊BC、CD上，且△PCQ的周長為8，設(shè)PC=x∈（0，2]，CQ=t．
（1）試用x表示t=f（x）；
（2）求矩形ABCD剩下部分面積的最小值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和圖象，利用勾股定理求出PQ，由△PCQ的周長為8列出方程，化簡可得t=f（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）和三角形、矩形的面積公式，表示出矩形ABCD剩下部分面積，求導(dǎo)化簡后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出矩形ABCD剩下部分面積的最小值．

解答 解：（1）∵PC=x∈（0，2]，CQ=t，（x＞0、t＞0）
∴在RT△PCQ中，由勾股定理得，
PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+{x}^{2}}$，
∵△PCQ的周長為8，∴x+t+$\sqrt{{t}^{2}+{x}^{2}}$=8，
化簡可得，32=8x+8t-xt，即（8-x）t=32-8x，
故t=f（x）=$\frac{32-8x}{8-x}$，（0≤x≤2）；
（2）由（1）得，
矩形ABCD剩下部分面積S=$5×2-\frac{1}{2}×t×x$
=10-$\frac{4x（4-x）}{8-x}$=$\frac{2（2{x}^{2}-13x+40）}{8-x}$，
∴S′（x）=$2•\frac{（2{x}^{2}-13x+40）′（8-x）-（2{x}^{2}-13x+40）（8-x）′}{（8-x）^{2}}$
=$4•\frac{-{x}^{2}+16x-32}{{（8-x）}^{2}}$=$4•\frac{-{（x-8）}^{2}+32}{{（8-x）}^{2}}$，
∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=2時，$4•\frac{-{（x-8）}^{2}+32}{{（8-x）}^{2}}$取到最大值是$-\frac{4}{9}＜0$，
∴當(dāng)x∈[0，2]時，S′（x）＜0，則S（x）在[0，2]上遞減，
當(dāng)x=2時，S（x）取到最小值是$\frac{22}{3}$，
即矩形ABCD剩下部分面積的最小值是$\frac{22}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系，考查化簡、變形能力．