Question

1．設函數(shù)f（x）=x-ln（x+1）+$\frac{a-1}{a}$．
（Ⅰ）若關于x的不等式f（x）≤0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若m＞n＞0，求證：e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_min≤0，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍即可；
（Ⅱ）令a=1，則f（x）=x-ln（x+1），問題轉(zhuǎn)化為證明e^m-n-1＞m-n即可，記 g（x）=e^x-x-1，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）關于x的不等式f（x）≤0有實數(shù)解，即f（x）_min≤0…（1分）
∵$f'（x）=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$，（x＞-1），由 f'（x）＜0⇒-1＜x＜0
∴f（x）在（-1，0]遞減，在[0，+∞）遞增，$f{（x）_{min}}=f（0）=\frac{a-1}{a}$…（4分）
由 $\frac{a-1}{a}≤0$得 0＜a≤1，∴a的取值范圍為（0，1]…（5分）
（Ⅱ）令a=1，則f（x）=x-ln（x+1），由（Ⅰ）知f（x）在[0，+∞）遞增，
∵m＞n＞0，∴f（m）＞f（n）即 m-ln（m+1）＞n-ln（n+1）…（7分）
∴m-n＞ln（m+1）-ln（n+1），故要證原不等式，只要證：e^m-n-1＞m-n…（9分）
記 g（x）=e^x-x-1，（x＞0），則 g'（x）=e^x-1＞0…（10分）
∴g（x）在（0，+∞）遞增，∴g（x）＞g（0）=0即 e^x-1＞x（x＞0）
令x=m-n，則有：e^m-n-1＞m-n，∴e^m-n-1＞ln（m+1）-ln（n+1）…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．